2022年高教社杯全國大學生數學建模國賽B題思路

數碼桃桃

以下，是我對2022年高教社杯全國大學生數學建模國賽B題思路的一些看法和見解，大家有問題可以評論，此貼也作為答疑帖。
先貼題目：

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如下是思路分析：
無人機的問題屬于近年來的熱點問題，以往多為調度問題，此次屬于涉及到無人機的定位，在簡單定位模型建立的基礎上，應該考慮無人機偏差的情況，針對出現的偏差如何進行優(yōu)化。B題的整體分析如下：
問題1的第（1）問，相當于已經確定1架無人機的位置，另外2架無人機的位置，應該考慮不同無人機位置組合的情況，建立基本的數學模型；問題1的第（2）問，相當于已經知道2架無人機的位置，問還需要幾架無人機發(fā)射信號，才能實現無人機的有效定位，屬于優(yōu)化類問題，依然建議考慮不同情形，針對不同情況進行模型建立；問題1的第（3）問，類似調度問題，這一小問是在第1、第2問基礎上的又一深化，將是B題的核心問題之一，嚴格來說也屬于調度類問題。問題2是在問題1的基礎上進行拓展，需要針對不同隊形進行調整。如果有相關專業(yè)的同學，能夠進行模擬仿真，效果是最好的，但是不是也沒有關系，也可以做。
針對具體的問題，分析如下：
問題1：
（1）如圖1所示，無人機對位置的確定，主要是依據角度。軌跡外圍有9架無人機，根據FY00和另外2架無人機進行定位，首先要明確有多少種情形，如圖2所示，一共有4種情形，然后再結合無人機的相對位置，相對位置的變化也需要考慮，之后應該針對每一種情形進行模型的建立與求解，定位的原則就是角度一定。也可以先建立一個測量模型，然后改變參數進行分析。

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圖1 無人機位置確定示意圖

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圖2 無人機位置確定示意圖

另外，問題1中的三個問題具有連續(xù)性，為了更好的分析內容，可以添加無人機運動的運動模型和隊形描述模型，隊形描述的目的在于確定相對位置。
飛行器運動模型（不要被復雜的公式嚇到，查了很久才查到，自己認真看下就能看懂，改一改，可以直接用。）

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隊形幾何描述：隊形的幾何描述，可以利用矩陣，進行表示，類似下面這種。

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（不做隊形幾何描述也可以，這一部分可以替換為相對運動模型，B的本質就在于相對運動，根據相對位置進行定位！相對位置模型在此不給予參考了）
（2）問題（2）是問題（1）基礎上的深化，應該在問題（1）的基礎上進行優(yōu)化，毋庸置疑，2架是肯定不行的，在某些特定的位置，三架也不見得可以。這一問一定要謹記問題大背景—要求盡可能少發(fā)送電磁波信號，因此類似優(yōu)化問題，在問題一模型的基礎上進行優(yōu)化即可。另外，針對這一問，可以結合題目之間的聯系，靈活應對。以下給出自適應變維算法的推導，可以參考，結合問題實際，建立基礎模型，之后在此基礎上改進，分析結果，進行改進。

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（3）是B題的核心問題
針對這一題，提供一共三種思路。
① 如果能力強的話，可以進行模擬仿真，這樣效果最好，相信不出意外的話，一定你能從中脫穎而出，仿真對于本題絕對是錦上添花，類似下面這種結果，不是讓大家真的仿真出問題3的結果，而是對仿真進行一個展示，根據仿真，讀出結果。

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航向調整仿真

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間距調整仿真

② 不仿真也沒關系，這一個題，針對大眾來說，可以當做一個優(yōu)化調度問題。首先將各個飛機的極坐標輸入到Matlab中去，得到如下圖所示（*是無偏差情況下應該在的位置，o則是實際位置與無偏差情況的對比），目標就是發(fā)送信號的次數最少（目標），值得注意的是“圓周上最多3架無人機”，那么也就是說可以2架、可以3架（1架別想了，不可行的），之后可以采用遺傳算法等進行求解，從而得出最終的結果。

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無人機初始位置示意圖

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遺傳算法流程圖

③ 也可以使用貪婪算法進行求解。由于除FY00與FY01外的無人機位置均有偏差，因此，每次選擇除FY00外圓周上兩架無人機發(fā)射信號，對其余無人機進行定位時，均存在一定的偏差。因此，利用貪婪策略選取發(fā)射信號的無人機，使得定位偏差盡可能的小。
定義無人機的位置的相對誤差：
1）候選集合。為了構造問題的解決方案，有一個候選集合C作為問題的可能解，問題的最終解均取自于候選集合C。
2）解集合。隨著貪婪選擇的進行，解集合不斷擴展，直到構成一個滿足問題的完整解。
3）解決函數。檢查解集合是否構成問題的完整解。
4）選擇函數。即貪心策略，以相對誤差δ最小作為發(fā)射信號無人機的選取策略。
5）通過位置信息，對無人機位置進行調整。
6）判斷無人機位置是否滿足題設要求。
問題2：
針對問題2，提供兩種方法，根據自己的實際情況，選擇自己擅長的方法。
① 問題2可以當做是問題1模型的一個拓展，問題1解決了，問題2應該問題不大，關鍵在于，注意無人機群隊形的變化，問題1是單中心，問題2可以看為是多中心。想要做的更出彩，可以考慮機群之間的相對位置和拓撲關系，設計隊形重構策略，最終再建立數學模型。
② 由于問題二中無人機不一定保持同一高度飛行，因此在建立模型時,我們盡可能選擇相鄰三個無人機發(fā)射信號，通過測量其邊長與50m的差距，來衡量無人機位置的偏差。因此，針對上述問題可以采用動態(tài)規(guī)劃模型進行求解。
動態(tài)規(guī)劃主要用于求解以時間劃分階段的動態(tài)過程的優(yōu)化問題,但是一些與時間無關的靜態(tài)規(guī)劃(如線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃)，只要人為地引進時間因素，把它視為多階段決策過程，也可以用動態(tài)規(guī)劃方法方便地求解。在本題中，我們選擇每次調整無人機位置作為一個時刻。建立動態(tài)規(guī)劃模型。
主要步驟為：
先建立起動態(tài)規(guī)劃的數學模型：
1）將過程劃分成恰當的階段。
2）正確選擇狀態(tài)變量: xk，使它既能描述過程的狀態(tài)，又滿足無后效性，同時確定允許狀態(tài)集合xk。
3）選擇決策變量uk，確定允許決策集合uk（xk）。
4）寫出狀態(tài)轉移方程。
5）確定階段指標vk （xk,uk）及指標函數vkn的形式(階段指標之和，階段指標之積，階段指標之極大或極小等)。
6）寫出基本方程即最優(yōu)值函數滿足的遞歸方程，以及端點條件。

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飯點小寶貝

問題一測量模型具體是什么樣的啊

小李Sherry

請問第一問是半徑和角度都有偏差還是只有角度偏差

瘋狂烤翅

發(fā)射信號的無人機能接收信號嘛？

1915795861

第一問可以通過解三角形來確定各無人機的位置嗎

好好生活

[愛]

微笑8

無人機知道不知道自己角度對應的兩個無人機編號

玲姐

第一小問的兩個模型怎么用，都是未知量，怎么確定準備位置

礦機23

其實就是根據角度，或者說相對位置實現定位，說白了，就是解三角形確定位置，但是要考慮一下不同情形，問題1的第（1）問有4種情形，編程求解完全沒有問題（已經完成編程求解）；個人認為問題1的第（2）問，還需要1架，參考問題1就知道了；發(fā)射信號的肯定可以接受信號，但是應該不存在發(fā)射的同時還接受的情況

以后的以后

其實就是根據角度，或者說相對位置實現定位，說白了，就是解三角形確定位置，但是要考慮一下不同情形，問題1的第（1）問有4種情形，編程求解完全沒有問題（已經完成編程求解）；個人認為問題1的第（2）問，還需要1架，參考問題1就知道了；發(fā)射信號的肯定可以接受信號，但是應該不存在發(fā)射的同時還接受的情況