2022年高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模國(guó)賽B題思路

數(shù)碼桃桃

以下，是我對(duì)2022年高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模國(guó)賽B題思路的一些看法和見(jiàn)解，大家有問(wèn)題可以評(píng)論，此貼也作為答疑帖。
先貼題目：

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如下是思路分析：
無(wú)人機(jī)的問(wèn)題屬于近年來(lái)的熱點(diǎn)問(wèn)題，以往多為調(diào)度問(wèn)題，此次屬于涉及到無(wú)人機(jī)的定位，在簡(jiǎn)單定位模型建立的基礎(chǔ)上，應(yīng)該考慮無(wú)人機(jī)偏差的情況，針對(duì)出現(xiàn)的偏差如何進(jìn)行優(yōu)化。B題的整體分析如下：
問(wèn)題1的第（1）問(wèn)，相當(dāng)于已經(jīng)確定1架無(wú)人機(jī)的位置，另外2架無(wú)人機(jī)的位置，應(yīng)該考慮不同無(wú)人機(jī)位置組合的情況，建立基本的數(shù)學(xué)模型；問(wèn)題1的第（2）問(wèn)，相當(dāng)于已經(jīng)知道2架無(wú)人機(jī)的位置，問(wèn)還需要幾架無(wú)人機(jī)發(fā)射信號(hào)，才能實(shí)現(xiàn)無(wú)人機(jī)的有效定位，屬于優(yōu)化類(lèi)問(wèn)題，依然建議考慮不同情形，針對(duì)不同情況進(jìn)行模型建立；問(wèn)題1的第（3）問(wèn)，類(lèi)似調(diào)度問(wèn)題，這一小問(wèn)是在第1、第2問(wèn)基礎(chǔ)上的又一深化，將是B題的核心問(wèn)題之一，嚴(yán)格來(lái)說(shuō)也屬于調(diào)度類(lèi)問(wèn)題。問(wèn)題2是在問(wèn)題1的基礎(chǔ)上進(jìn)行拓展，需要針對(duì)不同隊(duì)形進(jìn)行調(diào)整。如果有相關(guān)專業(yè)的同學(xué)，能夠進(jìn)行模擬仿真，效果是最好的，但是不是也沒(méi)有關(guān)系，也可以做。
針對(duì)具體的問(wèn)題，分析如下：
問(wèn)題1：
（1）如圖1所示，無(wú)人機(jī)對(duì)位置的確定，主要是依據(jù)角度。軌跡外圍有9架無(wú)人機(jī)，根據(jù)FY00和另外2架無(wú)人機(jī)進(jìn)行定位，首先要明確有多少種情形，如圖2所示，一共有4種情形，然后再結(jié)合無(wú)人機(jī)的相對(duì)位置，相對(duì)位置的變化也需要考慮，之后應(yīng)該針對(duì)每一種情形進(jìn)行模型的建立與求解，定位的原則就是角度一定。也可以先建立一個(gè)測(cè)量模型，然后改變參數(shù)進(jìn)行分析。

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圖1 無(wú)人機(jī)位置確定示意圖

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圖2 無(wú)人機(jī)位置確定示意圖

另外，問(wèn)題1中的三個(gè)問(wèn)題具有連續(xù)性，為了更好的分析內(nèi)容，可以添加無(wú)人機(jī)運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)模型和隊(duì)形描述模型，隊(duì)形描述的目的在于確定相對(duì)位置。
飛行器運(yùn)動(dòng)模型（不要被復(fù)雜的公式嚇到，查了很久才查到，自己認(rèn)真看下就能看懂，改一改，可以直接用。）

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隊(duì)形幾何描述：隊(duì)形的幾何描述，可以利用矩陣，進(jìn)行表示，類(lèi)似下面這種。

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（不做隊(duì)形幾何描述也可以，這一部分可以替換為相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型，B的本質(zhì)就在于相對(duì)運(yùn)動(dòng)，根據(jù)相對(duì)位置進(jìn)行定位！相對(duì)位置模型在此不給予參考了）
（2）問(wèn)題（2）是問(wèn)題（1）基礎(chǔ)上的深化，應(yīng)該在問(wèn)題（1）的基礎(chǔ)上進(jìn)行優(yōu)化，毋庸置疑，2架是肯定不行的，在某些特定的位置，三架也不見(jiàn)得可以。這一問(wèn)一定要謹(jǐn)記問(wèn)題大背景—要求盡可能少發(fā)送電磁波信號(hào)，因此類(lèi)似優(yōu)化問(wèn)題，在問(wèn)題一模型的基礎(chǔ)上進(jìn)行優(yōu)化即可。另外，針對(duì)這一問(wèn)，可以結(jié)合題目之間的聯(lián)系，靈活應(yīng)對(duì)。以下給出自適應(yīng)變維算法的推導(dǎo)，可以參考，結(jié)合問(wèn)題實(shí)際，建立基礎(chǔ)模型，之后在此基礎(chǔ)上改進(jìn)，分析結(jié)果，進(jìn)行改進(jìn)。

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（3）是B題的核心問(wèn)題
針對(duì)這一題，提供一共三種思路。
① 如果能力強(qiáng)的話，可以進(jìn)行模擬仿真，這樣效果最好，相信不出意外的話，一定你能從中脫穎而出，仿真對(duì)于本題絕對(duì)是錦上添花，類(lèi)似下面這種結(jié)果，不是讓大家真的仿真出問(wèn)題3的結(jié)果，而是對(duì)仿真進(jìn)行一個(gè)展示，根據(jù)仿真，讀出結(jié)果。

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航向調(diào)整仿真

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間距調(diào)整仿真

② 不仿真也沒(méi)關(guān)系，這一個(gè)題，針對(duì)大眾來(lái)說(shuō)，可以當(dāng)做一個(gè)優(yōu)化調(diào)度問(wèn)題。首先將各個(gè)飛機(jī)的極坐標(biāo)輸入到Matlab中去，得到如下圖所示（*是無(wú)偏差情況下應(yīng)該在的位置，o則是實(shí)際位置與無(wú)偏差情況的對(duì)比），目標(biāo)就是發(fā)送信號(hào)的次數(shù)最少（目標(biāo)），值得注意的是“圓周上最多3架無(wú)人機(jī)”，那么也就是說(shuō)可以2架、可以3架（1架別想了，不可行的），之后可以采用遺傳算法等進(jìn)行求解，從而得出最終的結(jié)果。

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無(wú)人機(jī)初始位置示意圖

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遺傳算法流程圖

③ 也可以使用貪婪算法進(jìn)行求解。由于除FY00與FY01外的無(wú)人機(jī)位置均有偏差，因此，每次選擇除FY00外圓周上兩架無(wú)人機(jī)發(fā)射信號(hào)，對(duì)其余無(wú)人機(jī)進(jìn)行定位時(shí)，均存在一定的偏差。因此，利用貪婪策略選取發(fā)射信號(hào)的無(wú)人機(jī)，使得定位偏差盡可能的小。
定義無(wú)人機(jī)的位置的相對(duì)誤差：
1）候選集合。為了構(gòu)造問(wèn)題的解決方案，有一個(gè)候選集合C作為問(wèn)題的可能解，問(wèn)題的最終解均取自于候選集合C。
2）解集合。隨著貪婪選擇的進(jìn)行，解集合不斷擴(kuò)展，直到構(gòu)成一個(gè)滿足問(wèn)題的完整解。
3）解決函數(shù)。檢查解集合是否構(gòu)成問(wèn)題的完整解。
4）選擇函數(shù)。即貪心策略，以相對(duì)誤差δ最小作為發(fā)射信號(hào)無(wú)人機(jī)的選取策略。
5）通過(guò)位置信息，對(duì)無(wú)人機(jī)位置進(jìn)行調(diào)整。
6）判斷無(wú)人機(jī)位置是否滿足題設(shè)要求。
問(wèn)題2：
針對(duì)問(wèn)題2，提供兩種方法，根據(jù)自己的實(shí)際情況，選擇自己擅長(zhǎng)的方法。
① 問(wèn)題2可以當(dāng)做是問(wèn)題1模型的一個(gè)拓展，問(wèn)題1解決了，問(wèn)題2應(yīng)該問(wèn)題不大，關(guān)鍵在于，注意無(wú)人機(jī)群隊(duì)形的變化，問(wèn)題1是單中心，問(wèn)題2可以看為是多中心。想要做的更出彩，可以考慮機(jī)群之間的相對(duì)位置和拓?fù)潢P(guān)系，設(shè)計(jì)隊(duì)形重構(gòu)策略，最終再建立數(shù)學(xué)模型。
② 由于問(wèn)題二中無(wú)人機(jī)不一定保持同一高度飛行，因此在建立模型時(shí),我們盡可能選擇相鄰三個(gè)無(wú)人機(jī)發(fā)射信號(hào)，通過(guò)測(cè)量其邊長(zhǎng)與50m的差距，來(lái)衡量無(wú)人機(jī)位置的偏差。因此，針對(duì)上述問(wèn)題可以采用動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型進(jìn)行求解。
動(dòng)態(tài)規(guī)劃主要用于求解以時(shí)間劃分階段的動(dòng)態(tài)過(guò)程的優(yōu)化問(wèn)題,但是一些與時(shí)間無(wú)關(guān)的靜態(tài)規(guī)劃(如線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃)，只要人為地引進(jìn)時(shí)間因素，把它視為多階段決策過(guò)程，也可以用動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法方便地求解。在本題中，我們選擇每次調(diào)整無(wú)人機(jī)位置作為一個(gè)時(shí)刻。建立動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型。
主要步驟為：
先建立起動(dòng)態(tài)規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型：
1）將過(guò)程劃分成恰當(dāng)?shù)碾A段。
2）正確選擇狀態(tài)變量: xk，使它既能描述過(guò)程的狀態(tài)，又滿足無(wú)后效性，同時(shí)確定允許狀態(tài)集合x(chóng)k。
3）選擇決策變量uk，確定允許決策集合uk（xk）。
4）寫(xiě)出狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程。
5）確定階段指標(biāo)vk （xk,uk）及指標(biāo)函數(shù)vkn的形式(階段指標(biāo)之和，階段指標(biāo)之積，階段指標(biāo)之極大或極小等)。
6）寫(xiě)出基本方程即最優(yōu)值函數(shù)滿足的遞歸方程，以及端點(diǎn)條件。

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飯點(diǎn)小寶貝

問(wèn)題一測(cè)量模型具體是什么樣的啊

小李Sherry

請(qǐng)問(wèn)第一問(wèn)是半徑和角度都有偏差還是只有角度偏差

瘋狂烤翅

發(fā)射信號(hào)的無(wú)人機(jī)能接收信號(hào)嘛？

1915795861

第一問(wèn)可以通過(guò)解三角形來(lái)確定各無(wú)人機(jī)的位置嗎

好好生活

[愛(ài)]

微笑8

無(wú)人機(jī)知道不知道自己角度對(duì)應(yīng)的兩個(gè)無(wú)人機(jī)編號(hào)

玲姐

第一小問(wèn)的兩個(gè)模型怎么用，都是未知量，怎么確定準(zhǔn)備位置

礦機(jī)23

其實(shí)就是根據(jù)角度，或者說(shuō)相對(duì)位置實(shí)現(xiàn)定位，說(shuō)白了，就是解三角形確定位置，但是要考慮一下不同情形，問(wèn)題1的第（1）問(wèn)有4種情形，編程求解完全沒(méi)有問(wèn)題（已經(jīng)完成編程求解）；個(gè)人認(rèn)為問(wèn)題1的第（2）問(wèn)，還需要1架，參考問(wèn)題1就知道了；發(fā)射信號(hào)的肯定可以接受信號(hào)，但是應(yīng)該不存在發(fā)射的同時(shí)還接受的情況

以后的以后

其實(shí)就是根據(jù)角度，或者說(shuō)相對(duì)位置實(shí)現(xiàn)定位，說(shuō)白了，就是解三角形確定位置，但是要考慮一下不同情形，問(wèn)題1的第（1）問(wèn)有4種情形，編程求解完全沒(méi)有問(wèn)題（已經(jīng)完成編程求解）；個(gè)人認(rèn)為問(wèn)題1的第（2）問(wèn)，還需要1架，參考問(wèn)題1就知道了；發(fā)射信號(hào)的肯定可以接受信號(hào)，但是應(yīng)該不存在發(fā)射的同時(shí)還接受的情況